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第二节 X2检验

  X2(称卡方)检验用途较广,但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显著性,也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。

  一、两个率的比较

  (一)X2检验的基本公式 下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较,见表3.5,其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同,抗凝药组为25.33%,对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种:一种是仅由抽样误差所致;另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况,应当进行X2检验。其基本步骤如下:

  1.首先将资料写成四格表形式,如表3.6。

  将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分,各占四格表中的一格,这些数字称为实际频数,符号为A,即实际观察得来的数字。

  2.建立检验假设 为了进行检验,首先作检验假设:两种疗法的两总体病死率相等,为35%(即70/200),记为H0:π12。即不论用或不用抗凝药,病死率都是35%,所以亦可以换一种说法:病死率与疗法无关。

  上述假设经过下面步骤的检验后,可以被接受也可以被拒绝。当H0被拒绝时,就意味着接受其对立假设即备择假设H1。此例备择假设为两总体病死率不相等,记为H1:π1≠π2

  因为我们观察的是随机现象,所以无论是接受或拒绝H0都冒有一定风险,即存在着错判的可能性。一般要求,当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值,如5%(或0.05),此值称为检验水准,记为α=0.05。

  3.计算理论频数 根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数,符号为T。计算方法如下:假设两总体病死率相同,都是35.0%,那么抗凝血组治疗75人,其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人,而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数,前者为43.75人。后者为81.25人。 然后,把这些理论频数填入相应的实际频数格内,见表3.6括号内数字。

  计算理论频数也可用下式(3.4)

  TRC=nRnC/N (3.4)

  式中,TRC为R行与C列相交格子的理论频数,nR为与计算的理论频数同行的合计数,nC为与该理论频数同列的合计数,N为总例数。

  例如;表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数(T1)为

  T11 75×70/200=26.25

  用两种方法计算,结果是相同的。

  4.计算χ2值,计算χ2值的基本公式为:

  X2=∑(A-T)2/t  (3.5)

  式中,A为实际频数,T为理论频数,∑为求和符号。

  将表3.6里的实际频数与理论频数代入式(3.5)即求得χ2值。此例χ2=4.929。

  从式3.5中可看出,实际频数与理论频数之差(A-T)愈小,所得的χ2值就愈小,理论频数是根据检验假设推算出来的,若与实际频数相差不大,说明假设与实际情况符合,于是就接受H0,认为两病死率无显著差别;反之,若(A-T)大,则χ2值亦大,说明假设与实际不符,就拒绝假设,认为两病死率有差别。但χ2值大还是小,要有一个比较的标准,要查χ2值表(附表1),查χ2值表前先要定自由度。

  5.求自由度 自由度是数学上的一个名词。在统计中,几个数据不受任何条件(如统计量,即样本特征数)的限制,几个数据就可以任意指定,称为有几个自由度。若受到P个条件限制,就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数,如没有任何条件限制,则4个数字都可任意取值,有4个自由度,当a+b,,c+d,a+c,b+d都固定后,在a、b、c、d四个实际频数中,只能有一个频数可任意指定了,因此,四格表的自由度为1。其计算公式为:

  ν=(R-1)(C-1) (3.6)

  式中,ν为自由度,R为横行数,C为纵列数。

  四格表有2行和2列(注意:总计与合计栏不算在内)。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

  6.求P值,作结论 根据自由度查χ2值表(附表1)。此表的左侧ν为自由度,表内数字χ2值,表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ2值的概率。三者关系是:在同一自由度下,χ2值越大,从同一总体中抽得此样本的概率P值越小;在同一P值下,自由度越大,χ2值也越大。χ2值与概率P呈相反的关系。χ2检验的常用界值为:

  χ220.05()P>0.05 在α=0.05水准处接受H0,差别不显著

  χ20.05≤χ220.01()0.05≥P>0.01 在α=0.05水准处拒绝HO,接受H1,差别显著

  χ2≥χ20.01()P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝HO,接受H1,差别显著

  这里α是预定的检验水准。χ20.05()是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ2 值,简称5%点,χ20.01()是与P=0.01相对应的χ2 值,简称1%点。

  当ν=1时,χ20.05(1)3.84,χ20.01(1)=6.63。本例自由度为1,求得χ2=4.929,介于3.84与6.63之间,或写成χ20.05(1)220.01(1)。由于与3.84对应的纵行P=0.05,与6.63对应的纵行P=0.01,因此与样本χ2=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间,写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H0,接受H1,两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

  在α=0.05水准处拒绝H0,说明若在同样情况下作100次判断,将有5次或不到5次的机会,将原没有差别的两总体率错判为有差别,或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

  下面将实例的检验步骤集中列出。

  例3.1 两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5,其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%,对照组为40.80%,问两组病死率有无显著差别?

表3.5 两组心肌梗塞病人病死率比较

组别 治疗人数 死亡人数 病死率(%)
抗凝血组 75 19 25.33
对 照 组 125 51 40.80
总 计 200 70 35.00

  检验步骤如下:

  1.将资料列成四格表形式,如表3.6。

表3.6 四格表式样

  死亡 生存 合计
抗凝血组 19(26.25) 56(48.75) 75
对照组 51(43.75) 74(81.25) 125
总 计 70 130 200

  2.H0:两疗法的总体病死率相同,即π1=π2

  H1:两疗法的总体病死率不同,即π1π2

  α=0.05

  3.求理论频数

  抗凝血组:

  死亡人数为75×35.0%=26.25人

  存活人数为 75-26.25=48.75人

  对照组:

  死亡人数为125×35.0%=43.75人

  存活人数为 125-43.75=81.25人

  把理论频数填入相对应的实际频数格内,见表3.6括号内数字。

  4.求χ2值 将表3.6里的数值代入式(3.5)得,

  5.求自由度,确定P值,作结论

  ν=(2-1)(2-1)=1,χ2 0.05(1)=3.84,χ2 0.01(1)=6.63,

  本例χ2 =4.929,χ2 0.05(1)22 0.01(1),则0.05>P>0.01,在α=0.05水准处拒绝H0,接受H1,即两总体病死率不等,对照组病死率较抗凝血组高。

  上例告诉我们,两个样本病死率一大一小,在未作检验之前,很难说它们两总体率是否有差别,为了作出正确判断,作X2检验。先假设两总体病死率相同,推算理论频数,由实际频数与理论频数计算χ2值,二者相差越大,χ2值也越大。本例得χ2=4.929,根据自由度为1时的χ2分布推断,从同一总体内抽样,出现χ2值等于或大于4.929的概率较小,每一百次中在5次以下,1次以上,因此检验假设被拒绝,而判断为有显著差别。

  (二)连续性校正公式 χ2检验是以连续的光滑曲线做根据的,当自由度为1时,χ2检验所得的概率容易偏低,因些需要校正,校正后的χ2值比不校正的小一些,校正公式是:

   (3.7) 

  公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。

  将表3.5资料代入式(3.7)得:

  检验两个率相差的显著性时(此时自由度为1),理论上都可用校正公式。但当用公式(3.5)求出的χ2值小于3.84时,相应的P值大于0.05,表示两个率相差不显著,校正后χ2值更小,仍得同样结构,就无须校正;当用未校正公式求出的χ2值远远超过3.84时,校正后的结论仍相同,在此种情况下也可不校正;当自由度为2及以上时,则不必校正。

  当用公式(3.5)求出的χ2值略大于3.84时,校正最为必要,往往会改变原来的结论,举例如下。

  例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。

表3.7 六六六粉两种配方灭黄鼠的效果

  烟薰后鼠洞情况 合 计

  (实验观察洞数)

灭洞率

  (%)

未盗开 盗 开
04号配方 13(16.63) 9(5.37) 22 59.1
05号配方 80(76.37) 21(24.63) 101 79.2
总 计 93 30 123 75.6

  现用公式(3.5)及式(3.6)分别计算χ2值如下:

  校正后的χ2值小于3.84,P>0.05,在α=0.05的水准处接受H0,认为两种配方灭黄鼠效果无显著差异,这相结论是比较合理的,如果不经校正就会得出错误的结论。

  (三)四格表中求χ2的专用公式 用上述基本公式(3.5)求χ2值,需要求出与实际频数一一对应的理论频数,运算较繁。在四格表中,用下列专用公式较为简便。

 (3.8)

  式中a、b、c、d为四格表中的实际频数,N表示总例数(即N=a+b+c+d)。

  现仍以表3.5资料为例,先写成四格表形式,如表3.8。

表3.8 四格表求χ2值专用公式的符号

  死 亡 生存 合 计
抗凝血组 19(a) 56(b) 75(a+b)
对照组 51(c) 74(d) 125(c+d)
  70(a+c) 130(b+d) 200(N)

  将实际频数代入式(3.8)得,

  这里用专用公式求得的χ2值与前面用基本公式求得的结果完全不同,有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入,这是由于受小数四舍五入的影响。

  前面已介绍了连续性校正公式(3.7),为使运算更为简便,下面列出专用公式的连续性校正公式(3.9),并以表3.8资料代入计算如下:

(3.9)

  所得结果与式(3.7)求得的一致。

  二、多个率或多个构成比的比较

  (一)2×K表的专用公式,前面已讨论了,两个率的比较用四格表专用公式计算χ2值较为简便。如果是多个率比较,就要列成2×K表。这里的K暂为所比较的组数,2为每个组内所划分的类型数。求χ2值时本可用基本公式计算,但以用下列专用公式为便:

             (3.10) (3.11)

        表3.9 2×K表形式之一

a1

  a2

  ┆

  ┆

b1

  b2

  ┆

  ┆

n1

  n2

  ┆

  ┆

∑ai ∑bi N

  公式中符号的意义参阅表3.9,以上两个公式的计算结果是完全一样的。

  例3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂(吡嗪磺合剂)预防疟疾复发的效果,用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照,比较三组的疟疾复发率,资料如表3.10,问三组复发率有无显著差别?

表3.10 三个组的疟疾复发率

组 别 观察例数 复发例数 复发率(%)
吡嗪磺合剂

  乙胺嘧啶

  对 照

1996

  473

  484

76

  27

  53

3.81

  5.71

  10.95

合 计 2953 156 5.28

  χ2检验步骤如下:

  1.将表3.10资料写成2×K表形式,见表3.11。注意:这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分,这样表3.10就为写成2×3表。

表3.11 三个组疟疾复发率的比较

  复发 未复发 合 计
吡嗪磺合剂 76 1920 1996
乙胺嘧啶 27 446 473
对 照 53 431 484
合 计 156 2797 2953

  2.H0:三个总体复发率相同

  H:三个总体复发率不全相同

  α=0.05

  3.求χ2值 将表3.11的数值代入式(3.10)(因为在表3.11中,各组的a值较小,计算较方便)得:

  4.求自由度,确定P值,作结论

  ν=(K-1)(2-1)=(3-1)(2-1)=2,查χ2值表得χ20.01(2)=9.21,本例χ2=39.92>χ20.01(2),P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H0,接受H1,即三个组的复发率有显著差别。

  本例的结论是三个组的复发率有显著差别,因此,还需进一步说明三组中那两组有差别,可用四格表对每两个率进行假设检验。本例的检验结果是:吡嗪磺合剂与对照组比(P<0.01),乙胺嘧啶组与对照组比(P<0.01),而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比(P>0.05),说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用,其效果不低于乙胺嘧啶。

  本例2×K表的2是指得发、未复发两项,K为比较的组数,K=3。如果比较组数只有2,而构成每组的项数则多于2,如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。这时把2作为比较组数,K作为项数,检验方法同上,表3.12是2×K表的另一种形式。

表3.12 2×K表形式之二

a1 a2 …… ∑ai

  ∑bi

b1 b2 ……
n1 n2 …… N

  例3.4,为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别,某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查,得资料如表3.13,问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别?

表3.13 某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较

县名 弥漫型 结节型 混合型 合计
甲县 486 2 4 492
乙县 133 260 51 444
合计 619 262 55 936

  检验步骤如下:

  1.H0:两总体甲状腺肿型别构成相同

  H1:两总体甲状腺肿型别构成不同

  α=0.05

  2.求χ2值, 将表3.13中的数值代入式3.10得:

  3.求自由度,确定P值,作结论。

  ν=(3-1)(2-1)=2,查χ2值表得χ20.01(2)=9.21,本例,χ2=494.36,P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H0,接受H1,甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别(P<0.01)。甲县以弥漫型为主,而乙县结节型较多,地域与患者的型别构成具有一定的关系。

  此类资料经χ2检验作结论,如果不显著,说明两组资料的构成比来自同一总体,没有显著差别。如果结论显著,说明两组的构成比来自不同总体,差别有显著性。同时要指出两组构成的主要区别。

  (二)R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。对此种资料作假设检验时,可用基本公式(3.5),但运算较繁,如果用R×C表的通用公式计算χ2值,较为简便。

              (3.12)

  式中,Aij为i行第j列的实际频数,ni为第i行的合计数,nj为第j行列的合计数,N为总频数。

  这个公式也系由基本公式(3.5)推导出来,式(3.12)也可用以求四格表、2×K表资料的X2值,故称通用公式,用此公式不需计算理论频数,与基本公式(3.5)相比,较为简便。

  例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在?

表3.14 胆结石类型与部位的关系

结石部位 总例数 例 数 百 分 比
胆固醇结石 胆红素结石 其它 胆固醇结石 胆红素结石 其它
胆囊 118 70 16 32 59.3 13.6 27.1
肝外胆管 75 12 39 24 16.0 52.0 32.0
肝内胆管 29 2 20 7 6.9 69.0 24.1
合计 222 84 75 63 37.8 33.8 28.4

  检验步骤如下:

  1.将表3.14资料写成R×C表形式,见表3.15.

表3.15 胆结石类型与部位的关系

  石

  部

  位

结 构 类 型
  胆固醇结石 胆红素结石 其它 合计
胆囊 70 16 32 118
肝外胆管 12 39 24 75
肝内胆管 2 20 7 29
合计 84 75 63 222

  2.H0:胆结石的类型与部位没有关系

  H1:胆结石的类型与部位有关系

  α=0.01

  3.求χ2值 将表3.15数值代入式(3.12)得:

  4.求自由度,确定P值,作结论。

  ν=(3-1)(3-1)=4,查χ2值表得χ20.01(4)=13.28,本例χ2=64.06<χ20.01。在α=0.01水准处拒绝H0,接受H1,胆结石类型与部位有显著关系存在(P<0.01),胆囊内以胆固醇结石居多,肝内、外胆管以胆红素结石为主。